Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Notasi Himpunan
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).
Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi
bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di
bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan
kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
- Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (…).
- Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut.
A. Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.
Suatu
relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan
atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota
himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3,
4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat
disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan
berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B
adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B
dengan aturan tertentu.
Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus
1. Himpunan Pasangan Berurutan.
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius
diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu
tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
B. Fungsi
Definisi Fungsi
Fungsi
f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal
f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf
lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f
kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4)
Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat
injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah
anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi
jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B
dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :
A). Fungsi Konstan
Suatu
fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan.
Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di
mana C bilangan konstan.
B). Fungsi Identitas
Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang
dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan
dengan lambang I sehingga I(x) = x.
C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak
Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.
D). Fungsi Linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila
fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b
bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
E). Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat
apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0
dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
F). Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.
G). Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus
(mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain
fungsi ke unsur harga mutlaknya.
H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut
fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap
apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak
genap dan tidak ganjil.
Fungsi Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh
fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa
fungsi atau bukan fungsi. Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f
–1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi
satu-satu.Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat
dilakukan dengan cara berikut ini.
a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).
b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).
c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).
Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi
- Contoh Soal:
1. Perhatikan diagram panah di bawah ini.
A → B
2 → 3
3 → 4
4 → 5
5 → 6
Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah… ?
A. Lebih dari
B. Kurang dari
C. Satu lebihnya dari
D. Satu kurangnya dari
Menurut kalian, manakah jawaban yg paling tepat diantara 4 pilihan ganda tersebut ? Bisa atau tidak.
mari kita analisa soal tersebut supaya lebih paham. Langkah
pertama yg harus kita lakukan adalah mencocokan antara diagram dengan
pilihan gandanya (PG).
Kita mulai dari PG A, yaitu “lebih dari” yg
harus jadi patokan kita adalah diagram pada bagian A (domain). Dari soal
tersebut kita mendapatkan hasil bahwa (A) Lebih dari (B) : Kita lihat
pada angka pertama yaitu 2 dan 3, mana mungkin 2 lebih dari 3. 
jadi PG A salah (x).
jadi PG A salah (x).
Selanjutnya PG B : (A) kurang dari (B). 2 kurang dari 3, jawabannya sudah benar tapi kurang spesifik.
Lalu PG C : (A) satu lebihnya dari (B). 2 satu lebihnya dari 3, sangat tidak logis.
Dan
yang terakhir PG D : (A) satu kurangnya dari (B). 2 satu kurangnya dari
3, ini baru jawaban yg logis dan jawaban yg paling benar & lebih
spesifik.
Apakah jawaban kalian benar, lw benar berarti kalian luar biasa.
2. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 9 – 3x. Jika f(p) = 15, nilai p adalah… ?
A. -8
B. -2
C. 2
D. 8
jwb :
f(x) = 9 – 3x
dari soal diatas kita cuma diperintahkan untuk mensubstitusikan p ke dalam x, sehingga :
f(x) = 9 – 3x
f(p) = 9 – 3p
karena f(p) = 15, maka kita substitusikan 15 ke dalam f(p).
f(p) = 9 – 3p
15 = 9 – 3p
15 – 15 = 9 – 3p -15
0 = 9 – 15 – 3p
0 + 3p = 9 – 15 – 3p + 3p
3p = – 6 + 0
p = -6 / 3
p = -2.
jadi nilai p adalah -2.
3. A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan,
olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang
disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.
keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan
Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.
Jawaban dengan tiga metode:
a. Dengan metode diagram panah
b. Dengan metode diagram Cartesius
c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan
{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni,
olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}
Sumber:
